En géométrie, la médiatrice est un concept fondamental qui permet de résoudre divers problèmes et d’effectuer des constructions. Cette notion est souvent abordée dès le collège et demeure importante tout au long de l’apprentissage des mathématiques. Dans cet article, nous vous proposons de découvrir la méthode pour construire une médiatrice.
Sommaire
Définition d’une médiatrice
Avant de s’intéresser à la construction d’une médiatrice, il convient de bien comprendre sa définition. Une médiatrice, en géométrie plane, est une droite qui coupe un segment perpendiculairement en son milieu. Autrement dit, elle divise le segment en deux parties égales tout en formant un angle droit avec celui-ci.
Pourquoi cette notion est-elle si importante ? Parce qu’elle est à la base de nombreuses propriétés géométriques et qu’elle permet de réaliser des constructions précises. Par exemple, la médiatrice d’un segment peut servir à déterminer le centre d’un cercle circonscrit à un triangle ou à vérifier si un point appartient à une bissectrice.
Méthode pour construire une médiatrice
Il existe plusieurs méthodes pour construire une médiatrice, selon les outils dont on dispose et le contexte dans lequel on travaille. Dans tous les cas, l’objectif est de trouver le point qui divise le segment en deux parties égales et de tracer la droite qui passe par ce point en étant perpendiculaire au segment. Voici quelques méthodes couramment utilisées pour y parvenir :
La méthode des arcs de cercle
Cette méthode est sans doute la plus connue et la plus simple à mettre en œuvre. Elle nécessite uniquement une règle et un compas. Voici les étapes à suivre :
- Ouvrir le compas d’une longueur supérieure à la moitié du segment. Placer la pointe sèche sur l’une des extrémités du segment (disons A) et dessiner un arc de cercle de part et d’autre du segment.
- Placer ensuite la pointe sèche sur l’autre extrémité du segment (B) et dessiner un nouvel arc de cercle, de manière à ce qu’il coupe le premier arc en deux points distincts.
- Relier ces deux points de rencontre à l’aide de la règle : la droite ainsi obtenue est la médiatrice du segment [AB].
Le principe de cette méthode repose sur le fait que l’ensemble des points équidistants de A et B forme justement la médiatrice recherchée.
La méthode analytique
Si on dispose des coordonnées des points A et B dans un repère orthonormé, on peut également construire la médiatrice en utilisant des formules mathématiques :
- Trouver le milieu du segment [AB] en calculant les coordonnées du point M : (xA + xB)/2 et (yA + yB)/2.
- Calculer le coefficient directeur de la droite (AB) : (yB – yA) / (xB – xA).
- Déterminer le coefficient directeur de la médiatrice, qui est l’opposé de l’inverse du coefficient directeur de (AB).
- Enfin, utiliser la formule de l’équation d’une droite passant par un point et ayant un coefficient directeur donné pour écrire l’équation de la médiatrice.
Cette méthode est plus complexe que la précédente, mais elle peut s’avérer utile dans certaines situations, notamment lorsqu’on travaille avec des coordonnées numériques.
La méthode de la symétrie axiale
Une troisième méthode pour construire une médiatrice consiste à exploiter la propriété de symétrie axiale. En effet, si l’on choisit un point sur le segment [AB] et qu’on effectue une symétrie axiale par rapport à la médiatrice, on doit obtenir un autre point du segment situé du côté opposé. Il suffit donc de :
- Choisir un point P sur le segment [AB].
- Effectuer la symétrie axiale de P par rapport à une droite quelconque passant par le milieu du segment. On obtient alors un point P’.
- Vérifier si la distance entre P et P’ est égale à la longueur du segment [AB]. Si c’est le cas, la droite utilisée pour la symétrie axiale est bien la médiatrice recherchée.
Cette méthode peut être intéressante dans des cas où l’on ne dispose pas de compas ou lorsque la configuration géométrique s’y prête particulièrement.
En résumé
La construction d’une médiatrice est un exercice fondamental en géométrie qui repose sur différentes méthodes, selon les outils à notre disposition et le contexte dans lequel on travaille. Que ce soit par la méthode des arcs de cercle, la méthode analytique ou celle de la symétrie axiale, l’objectif reste toujours le même : trouver la droite qui divise un segment en deux parties égales tout en étant perpendiculaire à celui-ci. En maîtrisant ces techniques, vous serez en mesure de résoudre de nombreux problèmes géométriques et d’effectuer des constructions précises.
